दैनिक आहार के पूरक के रूप में,एक व्यक्ति कुछ $X$ और कुछ $Y$ गोलियाँ लेना चाहता है। $X$ और $Y$ में आयरन,कैल्शियम और विटामिन की मात्रा (मिलीग्राम प्रति गोली) नीचे दी गई है:
गोलियाँ आयरन कैल्शियम विटामिन $X$ $6$ $3$ $2$ $Y$ $2$ $3$ $4$
व्यक्ति को कम से कम $18$ मिलीग्राम आयरन,$21$ मिलीग्राम कैल्शियम और $16$ मिलीग्राम विटामिन की आवश्यकता है। $X$ और $Y$ की प्रत्येक गोली की कीमत क्रमशः $Rs. 2$ और $Rs. 1$ है। न्यूनतम लागत पर उपरोक्त आवश्यकता को पूरा करने के लिए व्यक्ति को प्रत्येक की कितनी गोलियाँ लेनी चाहिए?
| गोलियाँ | आयरन | कैल्शियम | विटामिन |
|---|---|---|---|
| $X$ | $6$ | $3$ | $2$ |
| $Y$ | $2$ | $3$ | $4$ |
व्यक्ति को कम से कम $18$ मिलीग्राम आयरन,$21$ मिलीग्राम कैल्शियम और $16$ मिलीग्राम विटामिन की आवश्यकता है। $X$ और $Y$ की प्रत्येक गोली की कीमत क्रमशः $Rs. 2$ और $Rs. 1$ है। न्यूनतम लागत पर उपरोक्त आवश्यकता को पूरा करने के लिए व्यक्ति को प्रत्येक की कितनी गोलियाँ लेनी चाहिए?
(C) माना व्यक्ति $X$ प्रकार की $x$ गोलियाँ और $Y$ प्रकार की $y$ गोलियाँ लेता है।
दी गई सारणीबद्ध जानकारी से,हमारे पास निम्नलिखित बाधाएँ हैं:
$6x + 2y \geq 18 \Rightarrow 3x + y \geq 9$
$3x + 3y \geq 21 \Rightarrow x + y \geq 7$
$2x + 4y \geq 16 \Rightarrow x + 2y \geq 8$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0$.
उद्देश्य लागत $Z = 2x + y$ को न्यूनतम करना है।
असमिकाओं को आलेखित करने पर,सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है जिसके कोणीय बिंदु $A(8, 0)$,$B(3, 4)$,$C(1, 6)$,और $D(0, 9)$ हैं।
चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम असमिका $2x + y < 8$ की जाँच करते हैं। $2x + y < 8$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इसलिए,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(1, 6)$ पर $8$ है।
अतः,व्यक्ति को न्यूनतम $Rs. 8$ की लागत पर आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए $X$ की $1$ गोली और $Y$ की $6$ गोलियाँ लेनी चाहिए।
दी गई सारणीबद्ध जानकारी से,हमारे पास निम्नलिखित बाधाएँ हैं:
$6x + 2y \geq 18 \Rightarrow 3x + y \geq 9$
$3x + 3y \geq 21 \Rightarrow x + y \geq 7$
$2x + 4y \geq 16 \Rightarrow x + 2y \geq 8$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0$.
उद्देश्य लागत $Z = 2x + y$ को न्यूनतम करना है।
असमिकाओं को आलेखित करने पर,सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है जिसके कोणीय बिंदु $A(8, 0)$,$B(3, 4)$,$C(1, 6)$,और $D(0, 9)$ हैं।
| कोणीय बिंदु | $Z = 2x + y$ का मान |
|---|---|
| $(8, 0)$ | $16$ |
| $(3, 4)$ | $10$ |
| $(1, 6)$ | $8$ (न्यूनतम) |
| $(0, 9)$ | $9$ |
चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम असमिका $2x + y < 8$ की जाँच करते हैं। $2x + y < 8$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इसलिए,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(1, 6)$ पर $8$ है।
अतः,व्यक्ति को न्यूनतम $Rs. 8$ की लागत पर आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए $X$ की $1$ गोली और $Y$ की $6$ गोलियाँ लेनी चाहिए।
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से/तक $A$ $B$ $C$ $P$ $160$ $100$ $150$ $Q$ $100$ $120$ $100$
परिवहन लागत न्यूनतम हो,इसके लिए प्रत्येक कारखाने से प्रत्येक डिपो में कितनी इकाइयाँ भेजी जानी चाहिए? न्यूनतम परिवहन लागत क्या होगी?
| से/तक | $A$ | $B$ | $C$ |
| $P$ | $160$ | $100$ | $150$ |
| $Q$ | $100$ | $120$ | $100$ |
परिवहन लागत न्यूनतम हो,इसके लिए प्रत्येक कारखाने से प्रत्येक डिपो में कितनी इकाइयाँ भेजी जानी चाहिए? न्यूनतम परिवहन लागत क्या होगी?
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